산술평균, 기하평균, 조화평균

대표값을 표현하는 '평균'도 여러가지 종류가 있다.

산술 평균

우리가 흔히 사용하는 방법이다(일명 n빵). 주어진 수의 합을 수의 개수로 나눈 값이다.

Q) 3명이 가진 술자리에서 45000원이 나왔다. 1인당 내야 할 평균 금액은?

A) 45000 / 3 = 15000

기하 평균

기하 평균(幾何平均, geometric mean)은 n개의 양수 값을 모두 곱한 것의 n제곱근이다. 예를 들어 2와 8의 기하평균은 4이다. 3이 6으로 바뀌면 2배로 증가한 것이고, 6이 48로 바뀌면 8배로 증가한 것인데, 2와 8의 기하 평균인 4를 3에 두 번 곱하면 48이 된다. (출처 : 위키피디아)

 

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예시로 보면 훨씬 쉽다(실무에서 많이 쓰일 것 같다).

Q) 2019년 매출은 10억, 2020년 매출은 20억, 2021년 배출은 15억이다. 평균 매출 증가율은?

A)

연도	매출(억)	증가율
2019	10	-
2020	20	+100% (2)
2021	15	-25 (0.75)

이 상황에서 기하 평균 식은 다음과 같다.

(2 * 0.75)^(1/2) = 1.225

따라서 평균 매출 증가율은 22.5%가 된다. 이를 산술 평균으로 계산해버리면 (1 +(-0.25))/2 = 0.375 = 37.5%가 되니 꽤 차이가 크다.

그리고 실제로 37.5%씩 증가시키면 2020년에는 13.75억, 2021년에는 18.9억이 된다.

조화 평균

수학에서 조화 평균(調和平均)은 주어진 수들의 역수의 산술 평균의 역수를 말한다. 평균적인 변화율을 구할 때에 주로 사용된다.

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역시 예시를 보자.

예를 들어, 전체 거리의 절반을 40km/h의 속도로 달리고, 남은 절반을 60km/h로 달렸다면, 평균 속력은 40과 60의 조화 평균인 48km/h가 된다. 이동하는데 전체 거리를 48 km/h의 속력으로 달린 경우와 같은 시간이 걸렸기 때문이다. (만약 전체 "시간"의 절반씩을 달렸다면, 평균 속력은 산술 평균인 50km/h가 된다.)

 

조화 평균의 식은 생각보다 간단하다. 

H = (2ab) / (a + b)

= 2*40*60 / (40+60) = 48